Электричество.

[Marie Paganel]

4 курс математического факультета.
Решить нужно ко вторнику, 4 декабря 2012.
Из шести задач две решила, для одной прикинула план решения (проверьте, пожалуйста, если не сложно). Для остальных решение найти не могу, не знаю, с какой стороны подойти. Теорию читала, но с практикой заминка. Подскажите, пожалуйста!

1. Заряды `q_1 = q_2 = 10^-6` Кл расположены в вершинах равнобедренного треугольника. Заряд `q_3 = -10^-6` Кл расположен в середине соединяющего их отрезка. Найти напряжённость поля в третьей вершине треугольника, находящейся на расстоянии 1 см от заряда `q_3` и одинаково удалённой от зарядов `q_1` и `q_2`. Расстояние между зарядами `q_1` и `q_2` равно 2 см.

Решение

Решение:

(сложно при наборе формул различить векторные и скалярные величины - но, надеюсь, пишу понятно)
Вектор напряжённости в третьей вершине есть сумма векторов `E=E_1+E_2+E_3`
Сначала ищу длины векторов:
`|E_1|=|E_2|=q_1/(4*pi*varepsilon*varepsilon_0*a^2^10^-4) = 10^-6/(4*3,14*8,85*10^-12*2*10^-4) = 4,5*10^7` В/м
(Легко видеть, что `a^2 = 2` см^2)
`|E_3|=q_3/(4*pi*varepsilon*varepsilon_0*1*10^-4)=10^-6/(4*3,14*8,85*10^-12*10^-4) = 9*10^7` В/м
А далее - сложение векторов.
`|(E_1+E_2)|=|E_1|/cosalpha=4,5*10^3*sqrt(2)=6,3*10^7` В/м
(из треугольника `cosalpha=1/sqrt(2)`)
Получаем
`|E|=|6,3*10^7-9*10^7|=2,7*10^7` В/м
Ответ: `|E|=2,7*10^7`В/м и `E` направлен в ту же сторону, что `E_3`

2. В двух вершинах равностороннего треугольника со стороной 5 см находятся точечные заряды q и 2q. Найти потенциальную энергию этих зарядов, если потенциал электрического поля в третьей вершине равен 100 В.

Решение

Решение:
(тут, похоже, можно обойтись без векторов?)
Потенциальная энергия `W_p=1/(4*pi*varepsilon*varepsilon_0*)*(q_1*q_2)/r`, где r - расстояние между `q_1` и `q_2`. Мы знаем это расстояние, но не знаем величины зарядов. Его и найдём, зная потенциал в третьей вершине.
`varphi_3=W_(p1)/q_3 + W_(p2)/q_3=1/(4*pi*varepsilon*varepsilon_0*)*(q/r+(2*q)/r)=(3*q)/(4*pi*varepsilon*varepsilon_0*r)=100` В
`q=(100*4*pi*varepsilon*varepsilon_0*r)/3=(100*4*3,14*8,85*10^-12*5*10^-2)/3=1,85*10^-10` Кл
Теперь найдём `W_p=(2*q^2)/(4*pi*varepsilon*varepsilon_0*r)=(2*(1,85)^2*10^-20)/(4*3,14*8,85*10^-12*5*10^-2)=12,3*10^-9` Дж.
Ответ: 12,3 нДж.

3. Протон с начальной скоростью `v_0` влетает в однородное электрическое поле с напряжённостью E и движется вдоль силовых линий. Какой путь должен пройти протон, чтобы его скорость изменилась в 3 раза.

Рисунок к задаче

Картинка вот:

Получается, если протон полетит в сторону, противоположную направлению силовых линий, то скорость его уменьшится втрое, а если по направлению силовых линий - то увеличится, так? Но из каких соображений искать нужное расстояние?

4. Две концентрические сферы радиусами R и 2R несут равномерно распределённые по поверхности заряды +q и -q, соответственно. Найти потенциал внутренней сферы, считая, что потенциал в бесконечности равен нулю.

Решение

Решение:
Потенциал внутри сферы и на поверхности внутренней сферы всюду одинаков (и напряжённость =0)
Потенциал внутренней сферы есть сумма потенциалов внутри двух сфер
φ=φ1+φ2
φ1=kq/R
φ2=kq/2R
φ=k*(q/R - q/2R)

5. Точечные заряды 1 и 2 мкКл, расположенные в вакууме на некотором расстоянии друг от друга, взаимодействуют с силой 0,03 Н. В пространстве, где находятся заряды, включают однородное электрическое поле, силовые линии которого перпендикулярны линии, соединяющей заряды. После этого напряжённость электрического поля посередине между зарядами оказалась равной `10^5` В/м. найти напряжённость включенного однородного электрического поля.

Решение

`k=1/(4*pi*varepsilon*varepsilon_0)=1/(4*3,14*8,85*10^-12)=9*10^9`
1) Зная силу, через закон Кулона находим расстояние между зарядами.
`F=k*(q_1*q_2)/r^2`
`r=sqrt(k*q_1*q_2/F)=sqrt((9*10^9*2*10^-12)/(0,03))=0,8`м
2) В результате напряжённость оказывается `E_(rez)=E+E_1+E_2`, где E - искомая напряжённость поля, а `E_1` и `E_2` - напряжённости полей от каждого из точечных зарядов в точке посередине.
3) Напряжённости `E_1` и `E_2` найдём по известной формуле, напряжённость конечная нам известна, отсюда через сложение и вычитание векторов найдём и искомую E.
`a=r/2=0,4
`|E_1+E_2|=|k*(q_1-q_2)/a^2|=(9*10^9*10^-6)/(0,16)=56*10^3`
`E=sqrt(E_(rez)^2-(|E_1+E_2|)^2)=sqrt(10^10-3136*10^6)=8,3*10^4` В/м


6. Конденсатор, заряженный до разности потенциалов 300 В, соединили параллельно с незаряженным конденсатором ёмкостью 5 мкФ. После этого между обкладками конденсаторов установилась разность потенциалов 50 В. Определить ёмкость первого конденсатора.
Upd: Задача 6 решена.

Рисунок и решение

При параллельном соединении общая ёмкость конденсаторов `C=C_1+C_2`, разность потенциалов `U=U_1=U_2`, а связаны они как `U=q/C`.

q0=q1+q2.
q0=U0 (300В)*C1
q1=U1 (50В)* С1
q2=U2 (50В)* С2

`300*C_1=50*C_1+25*10^-5`
С1=1 мкФ.

@темы: Физика

Comments

[Науша]

4) Если я не ошибаюсь, то напряжённость внутри сферы равна нулю. А значит и потенциал также может равняться нулю по формуле
НО! я могу ошибаться... Вот в записях нашла, что потенциал на поверхности сферы равен потенциалу внутри шара.
Тогда по второй формуле решаете. В первом шаре r=R, а во втором r=2R, заряды считаем по модулю

[Marie Paganel]

Nay-sha, внутри сферы - да, но на поверхности - уже нет.
Не совсем понимаю, почему внутри сферы тогда и потенциал равен нулю, если разность равна нулю - то он может быть просто одинаков, нет?

[Науша]

1) - вроде правильно. я сама решала бы также.
6) после подключения заряд с первого конденсатора равномерно распределяется по обоим конденсаторам. это q0.
то есть после подключения q0=q1+q2.
q0=U0 (300В)*C1
q1=U1 (50В)* С1
q2=U2 (50В)* С2
Подставляем и находим.

[Marie Paganel]

Nay-sha,
6) Ура, спасибо! Получается `300*C_1=50*C_1+25*10^-5`
С1=1 мкФ.

[Науша]

Marie Paganel, я ошиблась. там согласно принципу суперпозиции будет сумма потенциалов с первого шара и со второго:
φ=φ1+φ2
φ1=kq/R
φ2=kq/2R

[Marie Paganel]

Nay-sha, а почему в знаменателе радиусы сфер, если нужно потенциал внутренней сферы? (т.е. на поверхности внутренней сферы - верно? или я не так понимаю задачу?)

[Науша]

Marie Paganel, так одна сфера внутри другой О,О на точку действует обе сферы, я так поняла что надо найти потенциал вот этой красной точки:

[Науша]

А потенциал внутри сферы равен потенциалу на поверхности

[Marie Paganel]

Точка тут совершенно не при чём, мне кажется, ведь её сфера не пересекает.

А потенциал внутри сферы равен потенциалу на поверхности

А можно, я попрошу это чем-нибудь подтвердить? В то, что сфера - эквипотенциальная поверхность, я верю, а вот это как-то не очень понимаю(

[Науша]

ancient.hydro.nsc.ru/ephys/examples/eldyn/eldyn...

[Marie Paganel]

Nay-sha, спасибо, теперь понятно, особенно если сравнить с внешней сферой.
Меня смущал случай r=R просто.

[vyv2]

Задача1. Ошибка

|(E_1+E_2)|=|E_1|*cosalpha

. Надо |(E_1+E_2)|=2|E_1|*cosalpha

[Marie Paganel]

vyv2, точно, спасибо, что заметили. (По-моему, это опечатка, посмотрела в решении - я должна была записать |E_1|/cosalpha).

[vyv2]

Задача2 Ошибка при вычислении

`W_p=(2*q^2)/(4*pi*varepsilon*varepsilon_0*r)=(2*1,85*10^-10)/(4*3,14*8,85*10^-12*5*10^-2)

q^2

[vyv2]

Задача3
Путь ищется через ускорение ma=qE
и уравнения движения S=v0*t+a*t^2/2
v=v0+a*t
если протон полетит в сторону, противоположную направлению силовых линий, то скорость его уменьшится втрое
сначала уменьшиться втрое , потом уменьшится до нуля, потов начнет увеличиваться до 1/3, и далее увеличиться в 3 раза.

[vyv2]

Задача4
Правильного ответа не нашел.
При r < R φ=-kq/(2R) = const, E=0
при R < r < 2R φ(r)=kq(1/(2R)-1/r), E=kq/r^2
при r >2R φ=0=const, E=0

[vyv2]

Задача 5
Жаль, что не довели до ответа. Подозрительные числа. Откуда задачи?

[vyv2]

Задача6
Верно

[Marie Paganel]

vyv2, вторую тоже исправила. Третью и пятую обязательно закончу; в четвёртой, видимо, мне нужно разобраться ещё раз самой, потому что плохо понимаю. Спасибо большое за подсказки!
Задачи выданы преподавателем в качестве домашнего задания, на листе с заданиями указаний на то, откуда они, не нахожу, разве что они указаны не под порядковыми номерами, как выписала я, а под номерами типа "Т8.73".
В пятой задаче снова у меня опечатка, в условии мкКл. Простите(

[Marie Paganel]

Довела задачу 5 до ответа.

[Marie Paganel]

vyv2, я нашла другой способ решения задачи 3, через разность потенциалов и закон сохранения энергии.
`(m*v_0^2)/2+q*varphi_1=(m*(3*v_0)^2)/2+q*varphi_2` - отсюда выражается разность потенциалов, а после используется то, что `E=(Delta varphi)/S` - отсюда легко выразить S.
Ответ получается тот же - выходит, так тоже верно?

[vyv2]

Конечно верно. Надо иметь только ввиду, что измениться в три раза можно в большую и меньшую сторону , а также двигаться по полю и против.